|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Gebroken vergelijkingen
Hoi!
Ik heb een vraag: zouden jullie mij uit kunnen leggen hoe ik de formule van Ptolemeus kan bewijzen? De formule is:
AB x CD + AD x BC = AC x BD. De formule hoort bij een koordenhoek in een cirkel, maar ik heb nog niks over koorden gehad, dus als het zonder koorden kan en alleen met sinussen en cosinussen en zo, zou dat heel fijn zijn! Ik heb veel geprobeerd maar ik kom er niet uit!
Alvast bedankt!
Antwoord
dag Esther,
Het is niet zo gek dat je er niet zomaar uitkomt, want het is best ingewikkeld.
Eerst een hulpstelling: de stelling van Stewart. Dit passen we toe in onze koordenvierhoek:
f12g=d2g1+a2g2-g1g2g
Nu is DASD~DBSC (gelijkvormig omdat de hoeken gelijk zijn)
Hieruit volgt: f1:d=g1:b, dus f1b=g1d
en ook: f1:g2=g1:f2, dus f1f2b=g1g2
Verder is DASB~DDSC
Hieruit volgt: f1:a=g2:c, dus f1c=g2a
Als we dit invullen in de toepassing van Stewart, krijgen we:
f12g=bdf1+acf1-f1f2g, dus f1g=ac+bd-f2g
en hier staat de stelling van Ptolemeus!
groet, Anneke
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
